Sei pezzi meno facili by Richard Feynman

autore:Richard Feynman
La lingua: it
Format: azw3, mobi, epub
editore: Adelphi
pubblicato: 2003-12-31T23:00:00+00:00

Equivalenza di massa ed energia

L'osservazione precedente portò Einstein a supporre che la massa di un corpo - una volta stabilito che la massa è uguale al contenuto totale di energia diviso per c2 - possa essere espressa da qualche formula più semplice della (3.1). Se moltiplichiamo l'equazione (3.11) per c2 otteniamo

(3.12)

A sinistra abbiamo l'energia totale del corpo, e riconosciamo nell'ultimo termine a destra la sua energia cinetica ordinaria; Einstein interpreto la grande costante m0c2 come una parte dell'energia totale del corpo, più esattamente come una componente intrinseca, la cosiddetta «energia a riposo».

Vediamo le conseguenze dell'aver supposto, con Einstein, che l'energia di un corpo sia sempre uguale a mc2. Un primo risultato interessante è che ne ricaviamo la formula (3.1) per la variazione della massa con la velocità, che finora avevamo soltanto postulato. Partiamo con il corpo in quiete, che ha l'energia m0c2, e gli applichiamo una forza che lo mette in moto e gli dà energia cinetica; essendo cresciuta l'energia è cresciuta allora anche la massa - questo è implicito nell'ipotesi iniziale, e finché la forza è presente continueranno a crescere tutte e due. Nel capitolo 13 (delle Lectures on Physics, vol. I) abbiamo già visto che la rapidità di variazione dell'energia nel tempo è uguale alla forza per la velocità,

(3.13)

e sappiamo anche (eq. (9.1), cap. 9 delle Lectures on Physics, vol. I) che F = d(mv)/dt. Se mettiamo insieme queste due relazioni e la definizione di E, l'equazione (3.13) diventa

(3.14)

Ora vogliamo risolvere questa equazione per m. Per questo usiamo innanzitutto un artificio matematico, moltiplicando entrambi i membri per 2m. La (3.14) diventa così

(3.15)

Dobbiamo eliminare le derivate, e possiamo riuscirci integrando ambo i membri. Si riconosce subito che (2m) dm/dt è la derivata temporale di m2, e (2mv)·d(mv)/dt è la derivata temporale di (mv)2; perciò la (3.15) e la

(3.16)

sono la stessa equazione.

Se le derivate di due grandezze sono uguali, queste differiscono al più per una costante, e possiamo scrivere quindi

m2c2 = m2v2 + C. (3.17)

Abbiamo però bisogno di definire la costante C in modo più esplicito. Poiché la (3.17) deve essere vera per ogni v, possiamo scegliere il caso particolare di v = 0, e dire che in tal caso la massa è m0; sostituendo questi valori nella (3.17) otteniamo

m02 c2 = 0 + C.

Con questo valore di C, la (3.17) diventa

m2c2 = m2v2 + m02c2 . (3.18)

Dividendo per c2 e riordinando i termini arriviamo a

m2(1 — v2/c2) =m02,

da cui

. (3.19)

Questa è la formula (3.1), ed è esattamente quel che occorre per la concordanza fra massa ed energia nell'equazione (3.12). Normalmente queste variazioni di energia corrispondono a variazioni di massa piccolissime, perché di solito non siamo in grado di generare molta energia a partire da una data quantità di materia; ma si può dimostrare che - per esempio - in una bomba atomica con un'energia esplosiva equivalente a 20 kiloton di TNT il residuo dell'esplosione, proprio a causa dell'energia liberata, pesa 1 grammo meno della massa iniziale del materiale attivo; il che vuol dire che l'energia liberata, in base alla relazione ΔE = Δ(mc2), aveva la massa di un grammo.

scaricare

Disconoscimento:
Questo sito non memorizza alcun file sul suo server. Abbiamo solo indice e link                                                  contenuto fornito da altri siti. Contatta i fornitori di contenuti per rimuovere eventuali contenuti di copyright e inviaci un'email. Cancelleremo immediatamente i collegamenti o il contenuto pertinenti.